Uspoloassn.su

Модные новинки
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Закон смещения вина формула рэлея джинса

Закон смещения вина формула рэлея джинса

200. Формулы Рэлея — Джинса и Планка

Из рассмотрения законов Стефана — Больцмана и Вина следует, что термодинамичес­кий подход к решению задача о нахождении универсальной функции Кирхгофа r n , T не дал желаемых результатов. Следующая строгая попытка теоретического вывода зави­симости r n , T принадлежит английским ученым Д. Рэлею и Д. Джинсу (1877—1946), которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, восполь­зовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Рэлея — Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид

где á e ñ = kT — средняя энергия осциллятора с собственной частотой n . Для осцил­лятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы ( см . § 50), поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы á e ñ = kT .

Как показал опыт, выражение (200.1) согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея — Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вина (рис. 288). Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефа­на — Больцмана ( см . (199.1)) из формулы Рэлея — Джинса приводит к абсурду. Дейст­вительно, вычисленная с использованием (200.1) энергетическая светимость черного тела ( см . (198.3))

в то время как по закону Стефана — Больцмана R е пропорциональна четвертой степени температуры. Этот результат получил название «ультрафиолетовой катаст­рофы». Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела.

В области больших частот хорошее согласие с опытом дает формула Вина (закон излучения Вина), полученная им из общих теоретических соображений:

где r n , T —спектральная плотность энергетической светимости черного тела, С и А постоянные величины. В современных обозначениях с использованием постоянной Планка, которая в то время еще не была известна, закон излучения Вина может быть записан в виде

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 г . немецким физиком М. Планком. Для этого ему пришлось отказаться от установившегося поло­жения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изме­няться непрерывно, т. е. может принимать любые сколь угодно близкие значения. Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями — квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания ( см . (170.3)):

где h = 6,625 × 10 –34 Дж × с — постоянная Планка. Так как излучение испускается порци­ями, то энергия осциллятора e может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии e :

В данном случае среднюю энергию á e ñ осциллятора нельзя принимать равной kT . В приближении, что распределение осцилляторов по возможным дискретным состояниям подчиняется распределению Больцмана (§ 45), средняя энергия осциллятора

а спектральная плотность энергетической светимости черного тела

Таким образом, Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу

которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур. Теоретический вывод этой формулы М. Планк изложил 14 декабря 1900 г . на заседа­нии Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.

Читайте так же:
Сандали с джинсами носят или

В области малых частот, т. е. при h n << kT (энергия кванта очень мала по сравнению с энергией теплового движения kT), формула Планка (200.3) совпадает с формулой Рэлея — Джинса (200.1). Для доказательства этого разложим экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для рассматриваемого случая двумя первыми членами:

Подставляя последнее выражение в формулу Планка (200.3), найдем, что

т. е. получили формулу Рэлея — Джинса (200.1).

Из формулы Планка можно получить закон Стефана—Больцмана. Согласно (198.3) и (200.3),

Введем безразмерную переменную x = h n /( kt ); d x = h d n /( kT ); d n = kT d x / h . Формула для Re преоб­разуется к виду

где так как Таким образом, действительно формула Планка позволяет получить закон Стефана — Больцмана (ср. формулы (199.1) и (200.4)). Кроме того, подстановка числовых значений k , с и h дает для постоянной Стефана — Больцмана значение, хорошо согласующееся с экспериментальными данными. Закон смещения Вина получим с помощью формул (197.1) и (200.3):

Значение l max , при котором функция достигает максимума, найдем, приравняв нулю эту произ­водную. Тогда, введя x=hc/ (kT l max ), получим уравнение

Решение этого трансцендентного уравнения методом последовательных приближений дает x =4,965. Следовательно, hc/ ( kT l max )= 4,965, откуда

т. е. получили закон смещения Вина ( см . (199.2)).

Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и с, можно вычислить постоянные Стефана — Больцмана s и Вина b . С другой стороны, зная эксперимен­тальные значения s и b , можно вычислить значения h и k (именно так и было впервые найдено числовое значение постоянной Планка).

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с эксперименталь­ными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения, а также позволяет вычислить постоянные в законах теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революцион­ной квантовой гипотезе Планка.

Формула Планка

Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения (спектральной плотности энергетической светимости) абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком для плотности энергии излучения u(omega, T): u(omega,T) =frac< omega^2 data-lazy-src=

Читайте так же:
Как выкроить воротник бомбер


varepsilon = hbar omega

Коэффициент пропорциональности alt=»hbar» />впоследствии назвали постоянной Планка, alt=»hbar» />= 1,054 · 10 −27 эрг·с. Это предположение позволило объяснить наблюдаемый спектр излучения теоретически.

Правильность формулы Планка подтверждается не только непосредственной эмпирической проверкой, но и следствиями из данной формулы, в частности из неё следует закон Стефана-Больцмана, также эмпирически подтверждённый. Кроме того, из неё выводятся также и приблизительные формулы, полученные до формулы Планка, — формула Вина и формула Рэлея-Джинса.

Содержание

Вывод для абсолютно чёрного тела [ править ]

Вследствие линейности уравнений электромагнитного поля любое их решение может быть представлено в виде суперпозиции монохроматических волн, каждая с определённой частотой omega. Энергия поля может быть представлена как сумма энергий соответствующих полевых осцилляторов. Как известно из квантовой механики, энергия осциллятора принимает дискретные значения согласно следующей формуле:

E_n=hbar omega (n+1/2)

Поскольку рассматривается равновесное излучение, то, используя каноническое распределение Гиббса, можно определить вероятность состояния осциллятора с заданной энергией:

W_n=1/Ze^<-E_n/kT data-lazy-src=

Z=sum e^<-hbar omega (n+1/2)/kT data-lazy-src=

где hbar— постоянная Планка, k— постоянная Больцмана.

Количество же стоячих волн в единице объёма в трёхмерном пространстве в интервале от (omega, omega+d omega)равно [1] [2] :


 mathrm<d data-lazy-src=

Следовательно, для спектральной плотности мощности электромагнитного излучения получаем


 u( omega , T)=overline<varepsilon data-lazy-src=

Вывод исходя из распределения Бозе-Эйнштейна [ править ]

Фотоны являются бозонами и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Для этой статистики среднее число частиц с данной энергией varepsilonравно

overline<n data-lazy-src=

где dN=frac <varepsilon^2dvarepsilon data-lazy-src=

Подставив формулу среднего числа бозонов с данной энергией в эту формулу и получим формулу Планка

Переход к формулам Рэлея—Джинса [ править ]

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до infty. При малых частотах (больших длинах волн), когда hbar omega / kT ll 1можно разложить экспоненту по hbar omega / kT. В результате получим, что  mathrm<exp data-lazy-src=

Для энергетической светимости следует записать интеграл:


 R= int_0^<infty data-lazy-src=

Переход к закону смещения Вина [ править ]

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по lambdaи приравнять нулю (поиск экстремума):


 frac< mathrm<d data-lazy-src=

Здесь — некоторая функция, конкретный вид которой термодинамическими методами установить нельзя.

Переходя в этой формуле Вина от частоты к длине волны, в соответствии с правилом перехода (1.3), получим

Как видно, в выражение для испускательной способности температура входит лишь в виде произведения . Уже это обстоятельство позволяет предсказать некоторые особенности функции . В частности, эта функция достигает максимума на определенной длине волны , которая при изменении температуры тела изменяется так, чтобы выполнялось условие:

Таким образом, В.Вин сформулировал закон теплового излучения, согласно которому длина волны , на которую приходится максимум испускательной способности абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его абсолютной температуре. Этот закон можно записать в виде

Значение константы в этом законе, полученное из экспериментов, оказалось равным м мК.

Закон Вина называют законом смещения, подчеркивая тем самым, что при повышении температуры абсолютно черного тела положение максимума его испускательной способности смещается в область коротких длин волн. Результаты экспериментов, приведенные на рис. 1.4, подтверждают этот вывод не только качественно, но и количественно, строго в соответствии с формулой (1.11).

Для реальных тел закон Вина выполняется лишь качественно. С ростом температуры любого тела длина волны, вблизи которой тело излучает больше всего энергии, также смещается в сторону коротких длин волн. Это смещение, однако, уже не описывается простой формулой (1.11), которую для излучения реальных тел можно использовать только в качестве оценочной.

Из закона смещения Вина получается, что температура тела и длина волны его испускательной способности взаимосвязаны.

Формула Рэлея-Джинса

В диапазоне предельно малых частот,

именуемом областью Рэлея-Джинса, плотность энергии пропорциональна температуре T и квадрату частоты щ:

На рис.2.1.1 эта область помечена РД. Формула Рэлея-Джинса может быть выведена чисто классическим путём, без привлечения квантовых представлений.

Чем выше температура чёрного тела, тем шире диапазон частот, в котором справедлива эта формула. Она объясняется в классической теории, но её нельзя распространять на высокие частоты (пунктирная линия на рис.2.1.1), так как просуммированная по спектру плотность энергии в этом случае бесконечно велика:

Эту особенность закона Рэлея-Джинса называют «ультрафиолетовой катастрофой».

Из формулы Рэлея-Джинса видно, что температура тела не распространяется на высокие частоты.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector