Закон смещения вина формула рэлея джинса

200. Формулы Рэлея — Джинса и Планка

Из рассмотрения законов Стефана — Больцмана и Вина следует, что термодинамический подход к решению задача о нахождении универсальной функции Кирхгофа r _{n ,} _T не дал желаемых результатов. Следующая строгая попытка теоретического вывода зависимости r _{n ,} _T принадлежит английским ученым Д. Рэлею и Д. Джинсу (1877—1946), которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Рэлея — Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид

где á e ñ = kT — средняя энергия осциллятора с собственной частотой n . Для осциллятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы ( см . § 50), поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы á e ñ = kT .

Как показал опыт, выражение (200.1) согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея — Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вина (рис. 288). Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефана — Больцмана ( см . (199.1)) из формулы Рэлея — Джинса приводит к абсурду. Действительно, вычисленная с использованием (200.1) энергетическая светимость черного тела ( см . (198.3))

в то время как по закону Стефана — Больцмана R _е пропорциональна четвертой степени температуры. Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы». Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела.

В области больших частот хорошее согласие с опытом дает формула Вина (закон излучения Вина), полученная им из общих теоретических соображений:

где r _{n ,} _T —спектральная плотность энергетической светимости черного тела, С и А — постоянные величины. В современных обозначениях с использованием постоянной Планка, которая в то время еще не была известна, закон излучения Вина может быть записан в виде

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 г . немецким физиком М. Планком. Для этого ему пришлось отказаться от установившегося положения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изменяться непрерывно, т. е. может принимать любые сколь угодно близкие значения. Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями — квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания ( см . (170.3)):

где h = 6,625 × 10 –34 Дж × с — постоянная Планка. Так как излучение испускается порциями, то энергия осциллятора e может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии e :

В данном случае среднюю энергию á e ñ осциллятора нельзя принимать равной kT . В приближении, что распределение осцилляторов по возможным дискретным состояниям подчиняется распределению Больцмана (§ 45), средняя энергия осциллятора

а спектральная плотность энергетической светимости черного тела

Таким образом, Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу

которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур. Теоретический вывод этой формулы М. Планк изложил 14 декабря 1900 г . на заседании Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.

Читайте так же:

Что такое венец у бани

В области малых частот, т. е. при h n << kT (энергия кванта очень мала по сравнению с энергией теплового движения kT), формула Планка (200.3) совпадает с формулой Рэлея — Джинса (200.1). Для доказательства этого разложим экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для рассматриваемого случая двумя первыми членами:

Подставляя последнее выражение в формулу Планка (200.3), найдем, что

т. е. получили формулу Рэлея — Джинса (200.1).

Из формулы Планка можно получить закон Стефана—Больцмана. Согласно (198.3) и (200.3),

Введем безразмерную переменную x = h n /( kt ); d x = h d n /( kT ); d n = kT d x / h . Формула для R_e преобразуется к виду

где так как Таким образом, действительно формула Планка позволяет получить закон Стефана — Больцмана (ср. формулы (199.1) и (200.4)). Кроме того, подстановка числовых значений k , с и h дает для постоянной Стефана — Больцмана значение, хорошо согласующееся с экспериментальными данными. Закон смещения Вина получим с помощью формул (197.1) и (200.3):

Значение l _max , при котором функция достигает максимума, найдем, приравняв нулю эту производную. Тогда, введя x=hc/ (kT l _max ), получим уравнение

Решение этого трансцендентного уравнения методом последовательных приближений дает x =4,965. Следовательно, hc/ ( kT l _max )= 4,965, откуда

т. е. получили закон смещения Вина ( см . (199.2)).

Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и с, можно вычислить постоянные Стефана — Больцмана s и Вина b . С другой стороны, зная экспериментальные значения s и b , можно вычислить значения h и k (именно так и было впервые найдено числовое значение постоянной Планка).

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения, а также позволяет вычислить постоянные в законах теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка.

Формула Планка

Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения (спектральной плотности энергетической светимости) абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком для плотности энергии излучения : $u(omega,T) =frac< omega^2 data-lazy-src=$ frac< e^>-1>» />

Формула Планка («форма» зависимости от частоты и температуры) первоначально была «выведена» эмпирически. Формула Планка была получена после того, как стало ясно, что формула Рэлея—Джинса, которая следует из классической теории электромагнитного поля, удовлетворительно описывает излучение только в области длинных волн. С убыванием длин волн формула Рэлея—Джинса сильно расходится с эмпирическими данными. Более того, в пределе она даёт расхождение — бесконечную энергию излучения (ультрафиолетовая катастрофа). В связи с этим Планк в 1900 году сделал предположение, противоречащее классической физике, о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых связана с частотой излучения выражением:

Читайте так же:

Шапка ушанка по английски перевод

Коэффициент пропорциональности alt=»hbar» />впоследствии назвали постоянной Планка, alt=»hbar» />= 1,054 · 10 −27 эрг·с. Это предположение позволило объяснить наблюдаемый спектр излучения теоретически.

Правильность формулы Планка подтверждается не только непосредственной эмпирической проверкой, но и следствиями из данной формулы, в частности из неё следует закон Стефана-Больцмана, также эмпирически подтверждённый. Кроме того, из неё выводятся также и приблизительные формулы, полученные до формулы Планка, — формула Вина и формула Рэлея-Джинса.

Содержание

Вывод для абсолютно чёрного тела [ править ]

Вследствие линейности уравнений электромагнитного поля любое их решение может быть представлено в виде суперпозиции монохроматических волн, каждая с определённой частотой omega . Энергия поля может быть представлена как сумма энергий соответствующих полевых осцилляторов. Как известно из квантовой механики, энергия осциллятора принимает дискретные значения согласно следующей формуле:

Поскольку рассматривается равновесное излучение, то, используя каноническое распределение Гиббса, можно определить вероятность состояния осциллятора с заданной энергией:

W_n=1/Ze^<-E_n/kT data-lazy-src= » />

Статистическая сумма равна

=e^ <-1/2(hbar omega /kT)>sum (e^<-hbar omega /kT>)^n= frac ><1-e^<-hbar omega /kT>>» />

Свободная энергия равна

$Psi=-kT ln Z=frac <hbar omega data-lazy-src=$ <2 >+kT ln(1-e^<-hbar omega /kT>)» />

Для средней (математическое ожидание) энергии воспользуемся уравнением Гиббса — Гельмгольца

overline<varepsilon data-lazy-src= =sum W_n E_n=Psi-kT frac =(kT)^2frac =(kT)^2 left(frac <2 (kT)^2>+frachbar omega /(kT)^2 ><1-e^<-hbar omega /kT>>right)» />

Таким образом средняя энергия, приходящаяся на полевой осциллятор равна

= frac <2>+frac ( hbar omega / kT) -1>, qquadqquad » />

(1)

где hbar — постоянная Планка, — постоянная Больцмана.

Количество же стоячих волн в единице объёма в трёхмерном пространстве в интервале от равно [1] [2] :

n_= frac omega> qquadqquad » />

(2)

Следовательно, для спектральной плотности мощности электромагнитного излучения получаем

frac n_> omega> = frac^3> <2pi^2 c^3>+frac^3> ( hbar omega / kT) -1)>, qquadqquad » />

Первое слагаемое в этой формуле связано с энергией нулевых колебаний, второе — это и есть формула Планка.

Формулу Планка также можно записать и через длину волны:

$u_p( lambda , T)=frac<16 pi^2 hbar c data-lazy-src=$

(2pihbar c / lambda kT) -1)>, qquadqquad » />

(5)

Вывод исходя из распределения Бозе-Эйнштейна [ править ]

Фотоны являются бозонами и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Для этой статистики среднее число частиц с данной энергией равно

overline<n data-lazy-src= (varepsilon)=frac<1>-1>» />

где $dN=frac <varepsilon^2dvarepsilon data-lazy-src=$ » /> — число осцилляторов (в единице объёма) электромагнитного поля с данной энергией в бесконечно малой окрестности .

Подставив формулу среднего числа бозонов с данной энергией в эту формулу и получим формулу Планка

Переход к формулам Рэлея—Джинса [ править ]

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до infty . При малых частотах (больших длинах волн), когда можно разложить экспоненту по . В результате получим, что mathrm<exp data-lazy-src= (hbar omega / kT) -1 approx 1 + hbar omega / kT -1 = hbar omega / kT » />, тогда (1) и (2) переходят в формулу Рэлея—Джинса.

$u(omega,T) = kT frac<omega^2 data-lazy-src=$ » /> и $f(omega,T) = kT frac<omega^2 data-lazy-src=$ <4 pi^2 c^2> » />

Переход к закону Стефана — Больцмана [ править ]

Для энергетической светимости следует записать интеграл:

R= int_0^<infty data-lazy-src= f(omega,T)mathrm omega = int_0^ frac <4 pi^2 c^2> cdot frac omega >( hbar omega / kT) -1> » />

Введём переменную , тогда , mathrm<d data-lazy-src= omega = (kT/ hbar) mathrmx» />, получим

$R= frac<hbar data-lazy-src=$ <4 pi^2 c^2>cdot left( frac right)^4 int_0^ fracmathrm>^x -1>. » />

Полученный интеграл имеет точное значение: </p data-lazy-src=

pi^4 / 15 » />, подставив его получим известный закон Стефана — Больцмана:

$R= frac<pi^2 k^4 data-lazy-src=$ <60 c^2 hbar^3>T^4 = sigma T^4 » />

Подстановка численных значений констант даёт значение для sigma = 5,66961 cdot 10^<-8 data-lazy-src= » /> Вт/(м 2 cdot K^4 ), что хорошо согласуется с экспериментом.

Переход к закону смещения Вина [ править ]

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по lambda и приравнять нулю (поиск экстремума):

$frac< mathrm<d data-lazy-src=$ u_p(lambda, T)> lambda> = frac< 4 pi^2 hbar c^2 left< frac<2 pi hbar c> mathrm left( frac<2 pi hbar c> right) — 5 left[ mathrm left( frac<2 pi hbar c> right) -1 right] right> > left( frac<2 pi hbar c> right) -1 right]^2> =0 » />.

Значение , при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначим $frac<2 pi hbar c data-lazy-src=$ = x» />, и получится уравнение:

</p data-lazy-src=

Решение такого уравнения даёт x=4,96511. Следовательно, $frac<2 pi hbar c data-lazy-src=$ = 4,965″ />, отсюда немедленно получается:

$T lambda_m = frac<2 pi hbar c data-lazy-src=$ <4.965 k>= b » />.

Численная подстановка констант даёт значение для b=0,0028999 К·м, совпадающее с экспериментальным, а также удобную приближённую формулу lambda_<max data-lazy-src= T approx 3000 quad » /> мкм·К. Так, солнечная поверхность имеет максимум интенсивности в зелёной области (0,5 мкм), что соответствует температуре около 6000 К.

формула планка

Закон Планка — это уравнение, которое описывает спектральное распределение энергии излучения абсолютного черного тела. Под АЧТ подразумевается такое физическое тело, которое вне зависимости от температуры поглощает весь спектр падающего на него электромагнитного излучения во всех интервалах.

Формула закона Планка имеет вид:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Где h — постоянная Планка, k — постоянная Больцмана, c — скорость света, T — температура.

Это выражение было выведено Максом Планком в 1900-ом году. Это случилось после того, как он рассмотрел баланс обмена энергией между двумя разными осцилляторами: частицами вещества, которые поглощали и испускали излучение на частоте ω ω , и осцилляторами, которые представляли электромагнитное поле этой же частоты.

Ученый сделал предположение, что данные осцилляторы могут находиться лишь в состояниях с дискретной энергией. Они отдают друг другу кванты энергии со значением ( Delta E=ℏomegaDelta E=ℏomega.)

Величину коэффициента пропорциональности ℏ ℏ между частотой электронного генератора и величиной кванта энергии Планк установил с помощью экспериментальных данных: ℏ ℏ = 1,054·10 –34 Дж·с.

Что описывает формула

Данная формула описывает излучение абсолютного черного тела.

Расчеты, которые проводят с ее помощью, совпадают с экспериментальными показателями для любых частот. В качестве частного случая в данном выражении присутствует формула Рэлея – Джинса (если (hnu<kT) ).

В области больших частот (при (hnu>kT) ) эта формула переходит в:

закон смещения Вина;
закон Стефана – Больцмана.

Количественное значение постоянной Планка можно найти, зная из эксперимента величины постоянных:

k (постоянную Больцмана);
σ (постоянную Стефана – Больцмана);
с (скорость света в вакууме).

Таким образом, мы получим выражение:

Хотя ФП была создана, чтобы определять равновесное излучение внутри нагретого вещества, она пригодна и для описания спектрального распределения лучистой энергии, которая выпускается телами в окружающее пространство.

Например, чтобы определить температуру поверхности звезды, необходимо зарегистрировать спектр ее излучения, а затем сопоставить его с ФП.

Этим же методом можно измерять температуру тел, нагретых в земных условиях. Эта формула незаменима для раскаленных металлов и керамики, где невозможно использовать традиционные датчики теплового измерения. ФП применяют и для описания потоков лучистой энергии в эталонах яркости излучения, которые нужны для абсолютной калибровки приёмников света.

Вид формулы Планка через длину волны (λ)

ФП, записанная через длину волны, выглядит следующим образом:

Зависимость спектральной плотности энергии от длины волны представлена на графике:

Закон смещения Вина

В 1893 г. немецкий физик В.Вин теоретически рассмотрел термодинамический процесс сжатия излучения, заключенного в полости с идеально зеркальными стенками. С учетом изменения частоты излучения за счет эффекта Допплера при отражении от движущегося зеркала Вин пришел к выводу, что испускательная способность абсолютно черного тела должна иметь вид

Здесь — некоторая функция, конкретный вид которой термодинамическими методами установить нельзя.

Переходя в этой формуле Вина от частоты к длине волны, в соответствии с правилом перехода (1.3), получим

Как видно, в выражение для испускательной способности температура входит лишь в виде произведения . Уже это обстоятельство позволяет предсказать некоторые особенности функции . В частности, эта функция достигает максимума на определенной длине волны , которая при изменении температуры тела изменяется так, чтобы выполнялось условие:

Таким образом, В.Вин сформулировал закон теплового излучения, согласно которому длина волны , на которую приходится максимум испускательной способности абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его абсолютной температуре. Этот закон можно записать в виде

Значение константы в этом законе, полученное из экспериментов, оказалось равным м мК.

Закон Вина называют законом смещения, подчеркивая тем самым, что при повышении температуры абсолютно черного тела положение максимума его испускательной способности смещается в область коротких длин волн. Результаты экспериментов, приведенные на рис. 1.4, подтверждают этот вывод не только качественно, но и количественно, строго в соответствии с формулой (1.11).

Для реальных тел закон Вина выполняется лишь качественно. С ростом температуры любого тела длина волны, вблизи которой тело излучает больше всего энергии, также смещается в сторону коротких длин волн. Это смещение, однако, уже не описывается простой формулой (1.11), которую для излучения реальных тел можно использовать только в качестве оценочной.

Из закона смещения Вина получается, что температура тела и длина волны его испускательной способности взаимосвязаны.

Формула Рэлея-Джинса

В диапазоне предельно малых частот,

именуемом областью Рэлея-Джинса, плотность энергии пропорциональна температуре T и квадрату частоты щ:

На рис.2.1.1 эта область помечена РД. Формула Рэлея-Джинса может быть выведена чисто классическим путём, без привлечения квантовых представлений.

Чем выше температура чёрного тела, тем шире диапазон частот, в котором справедлива эта формула. Она объясняется в классической теории, но её нельзя распространять на высокие частоты (пунктирная линия на рис.2.1.1), так как просуммированная по спектру плотность энергии в этом случае бесконечно велика:

Эту особенность закона Рэлея-Джинса называют «ультрафиолетовой катастрофой».

Из формулы Рэлея-Джинса видно, что температура тела не распространяется на высокие частоты.

голоса

Рейтинг статьи